本次暑期短期课程包含三门在线课程：1. 双曲曲面介绍（徐彬斌授课），2. 几何群论（杨文元授课），3. 度量黎曼几何初步（张若冰授课）。主要面向本科生和低年级研究生。时间安排在七月份的周一，周三和周五。
三门课程都会有录屏，并提供讲义，每节课后会及时发布在网页和百度网盘。后续关于课程的信息更新均会相应地发在网页上。
组织者：李琼玲 陈省身数学研究所 特聘研究员 qiongling.li@nankai.edu.cn
参加在线课程注意事项：用全名，学生用全名+学校+年级的格式参加。
1. Introduction to hyperbolic surfaces
授课教师：徐彬斌 卢森堡大学 博士后
课程时间：2021/7/9-2021/7/30 每周一，周三和周五 下午6：30-8：30
总共十次课，每次两小时
答疑时间：2021/7/9-2021/7/30 每周二和周四 下午 6:30-7:00 地点和课程一样
课程地点：腾讯会议 （ID 961 3163 9808） 无需密码
课程介绍：
Hyperbolic geometry is one main type of the non-Euclidean geometry. It not only is a beautiful and rich research area of mathematics by itself, but also has connections to various other areas in mathematics and physics, such as dynamical system, geometric group theory, number theory, projective geometry, mathematical physics, etc.
The 2-dimensional hyperbolic geometry is the basic of this area. The main objects studied here are hyperbolic surfaces which on one hand admit many interesting properties and a rich deformation theory, and at the same time, provide elementary examples in different research areas. In this mini course, we would like to give an introduction to the geometry on the hyperbolic plane and hyperbolic surfaces.
课程安排：In the first part, we give an elementary introduction to the geometry of the hyperbolic plane by discussing lines, circles and triangles in this space. We will also talk about the isometry group of the hyperbolic plane and its discrete subgroups.
In the second part, we will study the geometry on hyperbolic surfaces. We will end this part by introducing briefly the Teichmuller space and the mapping class group which are the main objects studied in the Teichm\uller theory and are closely related to the study of hyperbolic surfaces.
In the end of the mini course, we will briefly discuss two interesting topics in the study of hyperbolic surfaces: identities associated to hyperbolic surfaces and counting geodesics on hyperbolic surfaces.
参考资料：
[1] Alan F. Beardon, The geometry of discrete groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 91, Springer-Verlag, New York, 1983.
[2] Benson Farb and Dan Margalit, A primer on mapping class groups, Princeton Mathematical Series, vol. 49, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2012.
[3] Travaux de Thurston sur les surfaces, Séminaire Orsay，Astérisque No. 66-67， Société Mathématique de France, Paris, 1991.
[4] Svetlana Katok, Fuchsian groups, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, Chicago, IL, 1992.
预备知识：线性代数，数学分析，了解群论，拓扑学一些基本概念
视频+板书+作业：
Lecture 1: Upper half plane model H---metric, distance, geodesic
L1.mp4+
L1.1.pdfL1.2.pdf+Ex01.pdf
Lecture 2: Upper half plane model H---circle, horocycle, hypercycle
L2.1.mp4L2.2.mp4 +L2.1.pdfL2.2.pdf+Ex02.pdf
Lecture 3: Upper half plane model H---boundary of H, isometry group, reflections
L3.1.mp4L3.2.mp4 +L3.pdf+Ex03.pdf
Lecture 4: Upper half plane model H---Mobius transformation, classfication of isometries
L4.1.mp4L4.2.mp4 +L4.1.pdfL4.2.pdf +Ex04.pdf
Lecture 5:
L5.mp4+L5.1.pdfL5.2.pdf+Ex05.pdf
Lecture 6:
Lecture 7:
L7.mp4+L7.1.pdfL7.2.pdf+Ex07.pdf
答疑5.pdf(这次没有视频）
Lecture 8:
Lecture 9:
Lecture 10:
作业解答: 作业解答1-9.pdf
补充材料：Topology of Compactification of Hyperbolic Plane and Extension of Isometry.pdf
2. 几何群论
授课教师：杨文元 北京大学 副教授
课程时间：2021/7/19-2021/7/30, 每周一，周三和周五, 下午2：00-4：00
总共六次课，每次两小时
课程地点：腾讯会议 (ID 859 3571 4128) 无需密码
课程介绍：
几何群论是利用几何拓扑的方法研究无限离散群的研究领域。它的一个重要主题是对非正曲率特征群的研究，其中Gromov引入的双曲空间扮演着重要的角色。本短课以Gromov双曲空间为主题，计划分为六讲依次介绍：
1. 几何群论的基本引理，及群的增长函数。
2. Gromov双曲空间与双曲群的基本概念、Morse引理、拟等距不变性和算法问题。
3. Gromov边界、视觉度量和拟等距延拓的拟共形性质。
4. Bass-Serre理论介绍：自由积和融合积；端理论等。
5. 相对双曲群介绍: 基本例子与相关结果介绍。
课程讲义主要依据：http://bicmr.pku.edu.cn/~wyang/ggt/GGTnotes.pdf （及其中参考文献）
视频和板书：
作业解答：作业解答1-6.pdf
作业1： 练习6.8，6.13，6.14，6.26
作业2：练习5.21， 5.23，5.24，6.22 和附加练习题附加作业.pdf
作业3：作业3.pdf
作业4：无作业
作业5：练习 12.9，12.10，4.14，4.19， 11.16
作业6：无作业
3. 度量黎曼几何初步
授课教师：张若冰 普林斯顿大学 助理教授
课程时间：2021/7/14-2021/7/26, 每周一，周三和周五，上午9：30-11：30
总共六次课，每次两小时
补课：2021/8/25 周三，晚上8：00-10：00
2021/8/27 周五，晚上8：00-10：00
总共补两次课
课程地点：腾讯会议 （ID 394 7972 6873）无需密码
课程介绍：
黎曼几何是微分几何中的一门历史悠久，内容庞杂且研究进展迅速的研究分支。在逐渐深入的数学研究推动下，古典微分几何在历史发展中逐渐抽象化，最终形成了黎曼几何这一重要现代形式。自诞生日起(1854年6月10日)，弯曲空间的度量结构一直是黎曼几何学家的首要研究对象，这也为数学和物理等学科提供了大量的全新几何以及时空观念。度量黎曼几何的核心主题是曲率和度量结构的关系，以及附带的丰富拓扑推论。本课程主要总结现代度量黎曼几何中基本概念和工具，并着重讨论黎曼流形在某些曲率条件 (例如Ricci曲率有界和截面曲率有界) 限制下的空间演化现象。常见的应用包括描绘爱因斯坦流形的模空间和并证明各种结构性定理。我们也会简明介绍度量几何和几何分析最新的研究热点。
课程安排：
具体的课程计划如下。我们从度量空间的基本概念和大量的直观例子出发，初步描述度量几何的基本特征和研究风格。作为最重要的模型，我们详细介绍在截面曲率一致有界时黎曼流形 (甚至平坦流形) 的几何图像，并引入核心的黎曼几何比较定理作为重要的研究工具。为了讨论爱因斯坦流形的退化和其他更深刻的主题，我们也将引入必要的分析工具 (例如椭圆偏微分方程的存在性和正则性理论)。课程的主要目标是爱因斯坦流形的收敛和退化理论以及它们的深刻几何应用。根据大家的兴趣，课程可以适当延长。
课程参考资料：References.pdf
练习题：HW 1-4.pdf
视频+板书：
Lecture 1: Basic Riemannian Geometry L1.mp4+L1.1.pdfL1.2.pdf
Lecture 2: Geometry of Riemannian manifolds L2.mp4+L2.1.pdfL2.2.pdf
Lecture 3: More examples of metric structures L3.mp4+L3.1.pdfL3.2.pdf
Lecture 4: The space of metric structures L4.1.mp4L4.2.mp4
Lecture 5: Volume comparison and Gromov's compactness theorem L5.mp4
Lecture 6: Structures of the spaces with sectional and Ricci's bounds L6.mp4
Lecture 7: Geometry of manifolds with nonnegative Ricci curvature L7.mp4
Lecture 8: Application of the splitting theorems+Regularity theory of non-collapsing Einstein manifolds L8.mp4